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　　第十讲 真空中的静电场的所有物理：把握一个原则，即电场由电荷产生 ur ur （1）E ⋅d S q ε0 —— 静电场是有源场 ∫ ur r （2 ）E ⋅dl 0 —— 静电场是无旋场 ∫ ur ur ur （3 ） F qE ⇔ E −∇V c c U qV ur r ur r ⇔ V − E⋅dl =−q∫E ⋅dl ∫ （4 ）导体的静电平衡条件：导体是个等势体 第29章：物质中的电行为 物质分为： （超导体）导体 （半导体） 绝缘体 ↓ ↓ 自由电荷 束缚电荷 一． 导体 静电平衡：三个条件（不再赘述） 动态平衡: (1) 电流的定义 看一个电流产生的例子，将一电中性 r 的金属平板放在外电场E0 中，电荷在外电场 r 的作用下移动，会产生附加场E ， r t 0 时, E 0 ， 故电荷可以流动， r r r r r t →∞ 时, E =−E , E E =+E 0 0 内 0 此时处于平衡情况，电荷运动也就停止下来。 r 假设可以把电荷积累移走，使附加电场E 不存在，则电荷可以一直流动下去。 一个办法当然用导线将两个界面接起来，利用某种力将积累的正电荷从下表面 “搬”到上表面，这样就可以使得电流一直持续下去了。以后我们会明白，这种 外力一定要是某种非静电力。 而电流是指：电荷的流动 因此我们可以给出电流的定义： 给定一个截面A ，单位时间通过此截面的净电荷 Δq i Δt 电流是标量，只有+,−，没有方向 电流的单位是安培 = 库仑 秒 i 给我们的是一个积分的效应，好像电通量，水通量一样。 ur ur ur 回想电通量的定义 ， 及水通量的定义 r ， 分别牵扯了某个 φ E =⋅d S φ v ⋅d S ∫ ∫ ur r v 场量在一个截面上的积分（电场强度E ，速度场 ）， 这个场给出了我们所研 究的对象的更微观的信息。哪么，对于电流，是否也存在这样一个微观的场？其 r r r r 实，这个微观的场就是电流密度j (r ) , 满足i ∫j ⋅dS 。 r r 电流密度j (r ) 的定义： (a) 先看所有电荷均匀地垂直通过表面的情况 r r 由于j //n ，那么j 成为均匀标量 ， i j=ΔS ∫S j =⋅dS i Δq j ΔS ΔΔt S 也就是单位时间通过单位面积的电量。 (b) 若电荷分布非均匀， 则可把截面分成一个个的小块，在小块内一定均匀 Δq ( ) ， j r ΔS →0 ΔΔt S j 的微观计算方法：如何计算Δq ？考虑下图，可知Δt 时间内处于高为l 底面积为ΔS 的柱体内的电子可以通过截面。而l v Δt ，v 为电荷的漂 d d 移速度， 则 Δq n ql =⋅ΔS n qv =⋅Δ⋅Δt S ， 其中n 为载流子密度， 故， e e d e Δ⋅Δ n qv t S j e d n qv e d Δ⋅Δt S (c) 此定义可以推广到一般情况( 电荷分布非均匀，速度不必垂直于截面) r r r r r r r r 此时有： j (r ) n (r )qv (r ) ρ (r )v (r ) e d e d r ur 通过 i ∫j ⋅d S 可以计算通过任意曲面的电流（对比电通量，水通 量）， 可知这样计算出来的电流的确是符合我们最初的定义：单位时间 通过一个给定截面的电荷总量。 1．电流与电流密度是两个不同的物理量：前者是宏观量，后者是微观量（更准确地讲：微 分量）。前者为 0 并不必然意味着后者为 0，因为截面的方向可以与电流密度的方向垂直。 2．这里我们都仅考虑一种载流子的情况（或正或负）。任意情况（体系中即有正电荷，亦有 负电荷）显然同样适用 隐含在电荷密度上。 （2 ）电流与电荷密度的关系 S 与S 包围的体积ΔV 中 1 2 Δt 时间进入ΔV 中的电量 r uur Δq j(S ) =⋅ΔS ⋅Δt 1 1 1 Δt 时间出去ΔV 中的电量 r uur Δq j(S ) =⋅ΔS ⋅Δt 2 2 2 Δt 时间ΔV 中电量的增加 （考虑两个界面的方向） r uur r uur Δq =Δq −Δq j (S ) =⋅ΔS ⋅Δ−t j (S ) ⋅ΔS ⋅Δt 1 2 1 1 2 2 r ur =− j ⋅d S ⋅Δt ∫ Δq dq r ur 得流守恒定理： − j ⋅d S Δt dt ∫ ⇓ r r r ur & ρ (r )d r =− j ⋅d S e ∫ ∫ r & 动态平衡条件 ： ρ (r) 0 ，即任意位置的电荷分布不随时间变化 e ⇓ r ur j ⋅d S 0 ⇔ 稳恒时电流分布是个无源场 ∫ ⇓ 应用到导线内部 ur uur uur uur j 1 ⋅d S 1 − j 2 ⋅d S 2 0 ∫ ∫ ur uur uur uur uur uur j 1 ⋅d S1 j2 =⋅d S 2 =⋅⋅⋅⋅ jm =⋅d Sm i ∫ ∫ ∫ 在稳恒条件时，导线内的电流处处相同， 电流密度 i j (r ) ΔS 可知电流密度不相同，截面越小，电（水）流越急 （3 ）欧姆介质 r uur r 注意到 j nqvd ，要计算j 与什么有关，从左式中可知要考虑速度与什么 r r ur r & 有关？由牛顿第二定律mv qE ，我们来做一个简单的猜测，就是 j ∝E 。 r ur σ 欧姆介质的定义：j σE ，其中 是电导率与电场、电流无关， 仅与材料性质 有关。 r ur 所有满足j σE 的介质叫欧姆介质或线性介质，半导体，超导体即非欧姆介质。 / 2 / σ 的单位是 西门子 ，考虑到σ ~ j /E 安 米 安 伏 ，可知：1西 1安 伏 。 米 / 伏 米 米 由电导率的定义可以定义一个新的物理量：电阻率 ur r E ρj ， 其中ρ 1/σ 是电阻率，单位是欧姆⋅米 ur r E , j ,σ, ρ 都是微分量，不易观测， ur r r r E (r) ρ j(r) r r ur r j (r ) σE (r ) 它们相应的宏观量较容易观测，比如对一个 长度为 l, 截面积为 A 的欧姆导体，由微分量之间的关系可以推出： I l E ρj ⇒ V ρ=⋅l ρ =⋅I R I A A ⇓ l R ρ A E , j 是微观（分）量 ， ρ 是材料的本征性质，与形状，大小无关 V, I 是宏观量 ， R 是具体到一定形状，大小的一个物体上 V IR 的适用范围可能更广 ，毕竟I ~ V 曲线总可以观测。 如何翻译到σ, ρ则大费思量 I V 半导体 （4 ）欧姆定律的微观机制 a) 经典理论 在经典理论中，导体中的电子可以看成自由电子。在外场下，电子受力： r r r r & F qE ，由牛顿第二定律：mv F ，因此在电场下，电子一直做加速运动。自 r r r r r 由电子气的速度可以写成两个部分：v v +v ，v 是无规热运动，v 是定向漂 r d r d 移速度。 v v 由于电子无规运动向各个方向的几率都一样的，所以 d 。平均意义下， 我们只需考虑电子的漂移运动。 问题是：电荷在外场的作用下一直在做加速运动，得不到一个稳恒的电流。 必须有其他的机制来平衡外场力的作用，才可能建立稳恒的电流！ 电子之间的碰撞可以改变一个电子的速度，但这属于内力，不能改变整个 自由电子气的平均速度！这个机制一定是其他粒子（杂质，声子等）对电 荷（子）的散射！ 考虑了其他粒子的散射贡献之后，电子的运动方程可以改写成： r r r dv qE F d sca =+ ， dt m m 右边的第二项是散射对电子的作用力，显然非常复杂。为了定量考虑这一 贡献，让我们对散射作如下近似 1） 定义τ 为电子平均两次被异类粒子散射的间隔时间，通常称作迟豫时 间。 2 ） 假设电子被散射后将原有的定向 运动的漂移速度完全忘记 （Dephasing ），变成只有完全无规热运动。 在这两个近似下，根据牛顿第二定律， 散射对电子有效作用力为 r r r dp Δvd F m sca dt Δt r Δt Δt 其中Δvd 为 时间内粒子的因散射而改变的漂移速度。根据近似 1）， Δt 时间内被散射的机率为 ；根据近似 2 ），每次散射后速度改变为 τ r (0 −vd )。 因此， r Δt r Δt r ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v 0 v v Δ ( =− =−) d ⎜ ⎟ d ⎜ ⎟ d ⎝ ⎠τ ⎝ ⎠τ 故，散射贡献的等效力为 r r r Δv v F m d −m d sca Δt τ 带入可得， r r r dvd qE vd =− 迟豫时间近似下的运动方程 dt m τ r 电场下的稳恒电流？ 要求vd 不随时间变化，则有 r r Eq r vd τ ~ E 的确证实了我们最初的猜测！ m 2 2 nq τ nq ⇒j nqv d E ⇒ σ τ m m 物理讨论： 1）与不同物理量之间的关系：电子密度大，则电流大；电荷质量大，则惯 性大，不易被加速，同样驱动力下电流因此小；迟豫时间长，意味着散射的几 率小（杂质密度低，样品纯净），因而导体的导电性能好。 r r v d r α 2) 散射的作用可以类比于摩擦力：Fsca =−m =−αvd ， 为摩擦系数或粘 τ 滞系数。外场与摩擦力平衡时决定了终态电流 就像在沙子上拉车，或是将 一个小球从液体中释放，终态速度正比于电场、牵引力、或是重力。 3 ）更深层次的物理在能量交换上。考虑电场作用下的电荷体系，电场一直 对电荷作功，然而若我们要求电流稳恒，则意味着体系的机械能没有变化。能 量到哪里去了？ 思考。 b) 经典物理图象的困难 经典图像尽管直观易懂，但有几点与实验不符。 （1）. 金属电阻的温度依赖关系 在低温下，可以假设散射主要由杂质贡献。设 杂质之间的平均间隔为λ ：又称作平均自由程 其物理意义就是电子平均运动多少距离碰到一次 散射。显然这个量基本上不随温度 T 变化。 经典物理中，可以由此计算出迟豫时间对 T 的 依赖关系 τ ~ T −1/ 2 （见习题） m 故： ρ 2 ~ T ne τ 然而真实的测量结果为 ( ρ) ~τ ρ +αT 0 两点不符：a ）即使温度为绝对零度也有电阻ρ ！ 0 b ）对温度的依赖关系亦不相同！ λ （2 ）平均自由程 是多少？ 电子在晶格中运动，平均经过一个晶格长度就会被离子实散射一次，似 l a 乎 就是晶格周期 ！至少在经典力学中这样考虑是合情合理的。然而， 20 世纪初，人们发现这个图像是错误的。在理想固体（晶格完美，没 有缺陷及杂质），实验发现l →∞ ！这是一个惊人的结果，因为电子一 直在受到离子实的散射，为什么这些散射不会导致电阻呢？这是经典力 学的困难。 这些问题直到量子力学建立以后才解决 c) 量子力学的图象：（更深一步了解）， 在量子力学里，经典的电阻的图像基本正确，但需要做如下修正 （1）电子质量 ∗ 有效质量 m m → r （2 ） v 0 热运动的平均值为 0 （杂乱无章），这点一致。 r r r 2 量子： v ⋅v v =→ 费米速度：热运动的速率几乎与温度无关！，参 r r f 与导电的电子以v 为速率，方向杂乱无章的运动。 f （3 ）仍有平均散射时间（迟豫时间）的概念。而且进一步，因为热运动的 速率恒为 ，迟豫时间与平均自由程的关系为 ， 但l a 。 v l v ⋅τ f f v m s 106 在量子力学中，导电电子的一个完整图象是：电子以 f 的 −4 速度作无规则运动，但整体有一个极其缓慢 10m s 的漂移速度。 解决经典图像的问题： 1．电阻率的温度依赖关系 λ λ ① 即使 T=0，量子图像中电子仍以费米速度运动，τ =→ ，因此仍 2 v v f 会碰到杂质从而产生电阻，这就是 ρ 的来源！ （经典图像中 0 λ τ =→∞ (T →0) ，低温下电子运动极其缓慢，散射时间无穷长！） 2 v τ ② T 上升，无规运动变大， 更快遇到杂质， 变小， 变大 ρ ρ ρ (1=+αT ) ，但解释此线性依赖关系要用到费米球的概念，这里不再 0 进一步介绍了。 2 ． 对第二个问题， 量子力学建立之后，Heisenberg 把这个问题交给了他的学 生 Bloch，Bloch 完美地解决了这个问题，并因此获得了 Nobel 奖。 习题： P ．674， Questions ：4， Problems ：2，4，6，8，10，14，16